Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.
Определение
Натуральный логарифм - это функция y = ln x , обратная к экспоненте , x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/ x .
Исходя из определения
, основанием натурального логарифма является число е
:
е
≅ 2,718281828459045...
;
.
График функции y = ln x .
График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( - ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
Значения ln x
ln 1 = 0
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм" .
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента .
Если , то
Если , то .
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x
:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z
:
.
Выразим комплексную переменную z
через модуль r
и аргумент φ
:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ
определен не однозначно. Если положить
,
где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n
.
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Натуральный логарифм
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x ).
Натуральный логарифм - это логарифм по основанию , где e - иррациональная константа, равная приблизительно 2,718281 828 . Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x ), log e (x ) или иногда просто log(x ), если основание e подразумевается.
Натуральный логарифм числа x (записывается как ln(x) ) - это показатель степени , в которую нужно возвести число e , чтобы получить x . Например, ln(7,389...) равен 2, потому что e 2 =7,389... . Натуральный логарифм самого числа e (ln(e) ) равен 1, потому что e 1 = e , а натуральный логарифм 1 (ln(1) ) равен 0, поскольку e 0 = 1.
Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется натуральный логарифм, привела к появлению названия «натуральный». Это определение можно расширить на комплексные числа , о чём будет сказано ниже.
Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:
Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:
Таким образом, логарифмическая функция представляет собой изоморфизм группы положительных действительных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению, который можно представить в виде функции :
Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада, или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности . Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.
История
Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году , хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов. Ранее его называли гиперболическим логарифмом, поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.
Конвенции об обозначениях
Натуральный логарифм принято обозначать через «ln(x )», логарифм по основанию 10 - через «lg(x )», а прочие основания принято указывать явно при символе «log».
Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике авторы используют обозначение «log(x )» для логарифмов по основанию 2, но это соглашение не является общепринятым и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.
Скобки вокруг аргумента логарифмов (если это не приводит к ошибочному чтению формулы) обычно опускают, а при возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма: ln 2 ln 3 4x 5 = [ ln( 3 )] 2 .
Англо-американская система
Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log(x )», либо «ln(x )» , а для обозначения логарифма по основанию 10 - «log 10 (x )».
Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln(x )» (или изредка «log e (x )»), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log(x )» у них означает log 10 (x ).
log e является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции:
Если основание b равно e , то производная равна просто 1/x , а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора , чего нельзя сказать о других логарифмах.
Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николай Меркатор называли их логарифмус натуралис несколько десятилетий до тех пор, пока Ньютон и Лейбниц не разработали дифференциальное и интегральное исчисление.
Определение
Формально ln(a ) может быть определён как площадь под кривой графика 1/x от 1 до a , т. е. как интеграл :
Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:
Это можно продемонстрировать, допуская следующим образом:
Численное значение
Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:
Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:
Для ln(x ), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:
Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.
Высокая точность
Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона , чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.
Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула:
где M обозначает арифметико-геометрическое среднее 1 и 4/s, и
m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)
Вычислительная сложность
Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M (n ) ln n ). Здесь n - число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M (n ) - вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел.
Непрерывные дроби
Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби , но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:
Комплексные логарифмы
Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e x для любого произвольного комплексного числа x , при этом используется бесконечный ряд с комплексным x . Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x , для которого e x = 0, и оказывается, что e 2πi = 1 = e 0 . Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e z = e z +2nπi для всех комплексных z и целых n .
Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости , и даже при этом он является многозначным - любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi . Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi , и т.д., и хотя i 4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi , или 10πi или −6 πi , и так далее.
См. также
- Джон Непер - изобретатель логарифмов
Примечания
- Mathematics for physical chemistry . - 3rd. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9
- J J O"Connor and E F Robertson The number e . The MacTutor History of Mathematics archive (сентябрь 2001). Архивировано
- Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials . Архивировано из первоисточника 12 февраля 2012.
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.
Если , то .
Логарифм — крайне важная математическая величина , поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.
Вконтакте
Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что 
означает, что:
Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.
Приведем некоторые тождества:
Приведем основные алгебраические выражения:
;
.
Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.
Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.
Обозначения:
- lg x — десятичный;
- ln x — натуральный.
Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.
График натурального логарифма
Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.
Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:
Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:
Для удобства мы можем взять пять опорных точек:
;
;
.
;
.
Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.
Построив по точкам график, получаем приблизительный график:
Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.
Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .
Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .
Предел натурального log
Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y<0.
Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х<0 не существует.
Предел натурального log можно записать таким образом:
Формула замены основания логарифма
Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.
Начнем с логарифмического тождества:
Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:
где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).
Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:
Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):
Отсюда получаем универсальную формулу:
.
В частности, если z=e, то тогда:
.
Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.
Решаем задачи
Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.
Задача 1 . Необходимо решить уравнение ln x = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
Задача 2 . Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Еще раз применим определение логарифма:
.
Таким образом:
.
Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.
Задача 3. Решите уравнение .
Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:
.
Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
Первый корень уравнения:
.
Второй корень уравнения:
.
Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:
В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.
В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти N понадобится битов.
В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.
В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.
В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.
Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.
Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства
Доказательство основного свойства натурального логарифма
Это может быть, например, калькулятор из базового набора программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана довольно в главное меню ОС - раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», затем откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор». Можно вместо мыши и перемещений по меню использовать клавиатуру и диалог запуска программ - нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter.
Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, позволяющий осуществлять . По умолчанию он открывается в «обычном» виде, а вам нужен «инженерный» или « » (в зависимости от версии используемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.
Введите аргумент, натуральный которого нужно вычислить. Это можно сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.
Кликните кнопку с надписью ln - программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет результат.
Воспользуйтесь каким-либо из -калькуляторов в качестве альтернативного вычисления значения натурального логарифма. Например, тем, который размещен по адресу http://calc.org.ua . Его интерфейс предельно прост - есть единственное поле ввода, куда вам надо впечатать значение числа, логарифм от которого надо вычислить. Среди кнопок найдите и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ответа, поэтому результат вычисления вы получите практически мгновенно. Единственная особенность, которую следует учитывать - разделителем между дробной и целой частью вводимого числа здесь обязательно должна быть точка, а не .
Термин «логарифм » произошел от двух греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое - «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую надо возвести постоянное значение (основание), чтобы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом "e", то логарифм называют «натуральным».
Вам понадобится
- Доступ в интернет, Microsoft Office Excel или калькулятор.
Инструкция
Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете -калькуляторами - это, пожалуй, и простой способ вычисления натурального а. Поиском соответствующего сервиса вам заниматься не придется, так как многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифм ами. Например, перейдите на главную страницу самого крупного сетевого поисковика - Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь не потребуется, просто наберите в поле ввода запроса нужное математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию "e" введите ln 457 - этого будет вполне достаточно, чтобы Google отобразил с точностью до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.
Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления значения натурального логарифм а возникает при работе с данными в популярном табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция здесь вызывается с использованием общепринятого обозначения такого логарифм а в верхнем регистре - LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен результат вычисления, и введите знак равенства - так в этом табличном редакторе должны начинаться записи в ячейках, содержащих в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню. Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. Затем введите значение, натуральный логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит результат.
Видео по теме
1.1. Определение степени для целого показателя степени
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X — N раз
1.2. Нулевая степень.
По определению принято считать, что нулевая степень любого числа равна 1:1.3. Отрицательная степень.
X -N = 1/X N1.4. Дробная степень, корень.
X 1/N = корень степени N из Х.Например: X 1/2 = √X.
1.5. Формула сложения степеней.
X (N+M) = X N *X M1.6.Формула вычитания степеней.
X (N-M) = X N /X M1.7. Формула умножения степеней.
X N*M = (X N) M1.8. Формула возведения дроби в степень.
(X/Y) N = X N /Y N2. Число e.
Значение числа e равно следующему пределу:E = lim(1+1/N), при N → ∞.
С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.
3. Равенство Эйлера.
Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.E (i*пи) + 1 = 0
4. Экспоненциальная функция exp (x)
exp(x) = e x5. Производная экспоненциальной функции
Экспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:(exp(x))" = exp(x)
6. Логарифм.
6.1. Определение функции логарифм
Если x = b y , то логарифмом называется функцияY = Log b (x).
Логарифм показывает в какую степень надо возвести число - основание логарифма (b), чтобы получить заданное число (X). Функция логарифм определена для X больше нуля.
Например: Log 10 (100) = 2.
6.2. Десятичный логарифм
Это логарифм по основанию 10:Y = Log 10 (x) .
Обозначается Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Пример использования десятичного логарифма — децибел .
6.3. Децибел
Пункт выделен в отдельную страницу Децибел6.4. Двоичный логарифм
Это логарифм по основанию 2:Y = Log 2 (x).
Обозначается Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Натуральный логарифм
Это логарифм по основанию e:Y = Log e (x) .
Обозначается Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натуральный логарифм — обратная функция к экспоненциальной функции exp (X).
6.6. Характерные точки
Log a (1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Формула логарифма произведения
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Формула логарифма частного
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Формула логарифма степени
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Формула преобразования к логарифму с другим основанием
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Пример:
Log 2 (8) = Log 10 (8)/Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Формулы полезные в жизни
Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача -- пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича .
Разрешается использовать материалы сайта при условии установки активной ссылки на источник.
